DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal, que representaremos por , es una distribución de probabilidad continua muy importante, ya que son muchos los fenómenos sociales y naturales que se ajustan a ella.

La función de densidad de una distribución normal y su representación gráfica, conocida por la Campana de Gauss es:

Como se puede observar de la representación, es una función con las siguientes características:

- Su dominio son todos los números reales

- Es simétrica respecto de la media de la distribución

- El eje de abscisas es una asíntota horizontal

- Es creciente desde menos infinito has ta la media y decreciente desde la media hasta más infinito

- Tiene un máximo relativo en la media

Esta función queda perfectamente determinada conociendo la media y la desviación típica: cuánto mayor sea la media más desplazada a la derecha estará la gráfica y cuánto mayor sea la desviación típica, más ancha y baja será la gráfica

Distribución normal estándar

La distribución normal estándar es una distribución normal de media 0 y desviación típica 1, cuyo interés reside en que es la única distribución normal cuyo valores de probabilidades (calculados como áreas encerradas debajo de la función de densidad) se encuentran tabuladas y, por lo tanto, no es necesario recurrir al cálculo integral

Uso de la tabla: la variable aleatoria de una distribución normal estándar se representa por Z, y la tabla sólo permite calcular la probabilidad de que Z sea menor o igual que un valor positivo (k), es decir, que la tabla representa el área encerrada debajo de la curva entre menos infinito y k:

Para utilizar la tabla:

Como regla nemotécnica, cada cambio que tenga que hacer en la expresión que nos piden, ésta se transforma en 1-cambio. Por ejemplo:

p(Z > -0´12) = 1 - p(Z < -0´12) = 1 - [ 1 - p(Z < 0´12) ] = p(Z < 0´12) = 0´5478

En el caso de probabilidades en un intervalo:

y a partir de aquí se aplica todo lo anterior. Por ejemplo:

p(-0´34 < Z < 1´25) = p(Z < 1´25) - p(Z < -0´34) = p (Z < 1´25) - [1 - p(Z < 0´34) ] = 0´8944 - 1 + 0´6331 = 0´5275

Con esta animación de Geogebra, puedes comprobar si has utilizado correctamente la tabla para calcular la probabilidad en una distribución normal estándar:

Tipificación de la variable: Si la distribución no es estándar, el cálculo de probabilidades se hace con la misma tabla, pero previamente hay que hacer un cambio de variable, llamado tipificación, que no es otra cosa que transformar la variable X de una distribución normal no estándar en la variable Z de la distribución normal estándar para poder utilizar la tabla y evitar, de nuevo, el cálculo integral:

Aproximación de la binomial por la normal

En aquellos experimentos que siguen un modelo de distrtibución binomial con un número de pruebas muy grande, se pueden simplificar mucho los cálculos si se aproxima mediante una distribución normal, ya que, como se puede apreciar en el gráfico, si dibujamos el polígono de probabilidades para distintas distribuciones binomiales aumentando el número de pruebas se puede apreciar su extraordinario parecido con la campana de Gauss

Esta aproximación es tanto más buena cuánto mayor sea el número de pruebas y más cerca esté de 0,5 la probabilidad del suceso éxito (De Moivre).

Por lo tanto:

Corrección de la continuidad: Como la variable (X) en una distribución binomial es discreta y en una distribución normal la variable (X´) es continua, hay que hacer una pequeña corrección en la variable para asegurar la continuidad, que consiste en asociar a cada valor de la variable discreta un intervalo unidad centrado en el valor de la variable:

Por lo tanto, cuando en la binomial nos piden calcular la probabilidad en un intervalo que incluye el extremo, al aproximarlo por una normal hay que ampliar el intervalo en media unidad, para incluir la corrección. Si embargo, si la probabilidad es de un intervalo que excluye el extremo, hay que reducirlo media unidad para quitar la corrección.