CÁLCULO DE PROBABILIDADES

Experimentos aleatorios. Espacio muestral

Un experimento es aleatorio cuando tiene un resultado impredecible al repetirlo en condiciones similares y determinista en caso contrario. Un experimento aleatorio es simple cuando se realiza una sola vez (extraer una carta de una baraja, extraer una bola de una urna, tirar un dado, etc.) y compuesto si se realiza más de una vez (extraer dos cartas de una baraja, extraer tres bolas de una urna, tirar un dado y una moneda, etc.)

En un experimento aleatorio, se llama espacio muestral (E) al conjunto de posibles resultados:

- En experimentos simples, los elementos del espacio muestral se escriben separados por comas y entre llaves

Ej: E(lanzar un dado cúbico) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; E(lanzar una moneda) = {c, +}

- En experimentos compuestos, nos ayudamos de un diagrama de árbol: cada rama (flecha) representa un resultado del experimento simple y cada camino (conjunto de ramas que va de principio a fin) representa un resultado del experimento compuesto. El conjunto de caminos da lugar al espacio muestral

Suceso. Tipos de sucesos

Se llama suceso a cualquier subconjunto o parte del espacio muestral. Se nombran con letras mayúsculas

Ej: E(lanzar un dado cúbico) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = "salir par" = {2, 4, 6}; B = "salir múltiplo de tres" = {3, 6}; C = "salir menor que dos" = {1}; D = "salir el siete" = {}

Hay varios tipos atendiendo a diferentes criterios:

Si los observamos de forma individual podemos definir:

- Sucesos elementales: aquellos formados por un único elemento: C

- Sucesos compuestos: aquellos formados por más de un elemento: A, B

- Suceso imposible: aquel que nunca se verifica o cumple: D

- Suceso seguro: aquel que siempre se verifica o cumple: E

Si los comparamos entre ellos podemos definir:

- Sucesos compatibles: dos sucesos son compatibles cuando tienen elementos en común: A y B

- Sucesos incompatibles: dos sucesos son incompatibles cuando no tienen elementos en común: A y C

- Sucesos contrarios: dos sucesos son contrarios cuando son incompatibles y juntos forman el espacio muestral. Para escribir el suceso contrario de A, por ejemplo, se nombra con la misma letra pero con una raya por encima y está formado por los elementos del espacio muestral que no tenga A:

Un suceso y su contrario forman un sistema completo de sucesos

Operaciones con sucesos. Propiedades

Las principales operaciones con sucesos son tres:

Las propiedades quedan resumidas en la siguiente tabla:

Probabilidad. Propiedades

La probabilidad es una manera de cuantificar la posibilidad que tiene un acontecimiento de suceder mediante un número comprendido entre el 0 y el 1.

El concepto de probabilidad se basa en la Ley de los grandes números que dice que cuando se repite un experimento muchas veces, la frecuencia relativa con la que aparece un determinado suceso tiende a estabilizarse hacia un valor fijo.

Si en un experimento simple todos los sucesos posibles son equiprobables, dicho valor fijo se calcula como el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles, más conocida como la Ley de Laplace:

Las propiedades quedan resumidas en la siguiente tabla:

Probabilidad compuesta

Supongamos que tenemos una urna con bolas blancas y negras, sacamos dos bolas consecutivamente y queremos calcular la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean blancas, es decir:

Es fácil entender que, desde el punto de vista de la probabilidad, no es los mismo:

- sacar la primera bola, mirar el color, devolverla a la urna y sacar la segunda bola

- sacar la primera bola, mirar el color sin devolverla a la urna y sacar la segunda bola

En el primer caso, la probabilidad de que la segunda bola sea blanca es independiente de que la primera sea blanca, ya que, al sacar la segunda bola, la composición de la urna no ha variado. Sin embargo, en el segundo caso, la probabilidad de que la segunda bola sea blanca depende de lo que haya salido en la primera, ya que la composición de la urna varía.

Por lo tanto, tenemos que distinguir dos casos:

- Si la primera bola vuelve a la urna (con devolución): p(B1B2) = p(B1) · p(B2)

- Si la primera bola no vuelve a la urna (sin devolución): p(B1B2) = p(B1) · p(B2/B1), donde p(B2/B1) representa "la probabilidad de que la segunda bola sea blanca condicionada a que la primera sea blanca".

En general, dado un experimento compuesto en el que son posibles dos sucesos A y B, la probabilidad de la intersección:

Probabilidad total

Supongamos el mismo experimento que antes, es decir, sacar dos bolas de una urna que contiene bolas negras y blancas, pero ahora queremos calcular la probabilidad de que la segunda bola extraída sea blanca, es decir:

Si nos fijamos en el diagrama de árbol, hay dos caminos que cumplen que la segunda bola extraída es blanca y, por lo tanto: p(B2) = p(B1B2) + (N1B2)

En general, dado un experimento compuesto en el que son posibles dos sucesos A y B:

Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes se aplica cuando queremos calcular la probabilidad de un suceso de la segunda experiencia o posteriores de un experimento compuesto cuando conocemos parte del resultado del mismo: